如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．
（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A₁F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，交DE于点H，请证明：AH=DH．

答案

解：∵AB=DE=10，∠A=∠D=30°，
∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=EF=5．
（1）如图4，FC₁=BF=5，所以△ABC沿BD向右平移的距离为5；
（2）∵△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，
∴∠AFA₁=30°，∴∠A₁FD=60°，
而∠D=30°，
∴FG⊥CD，∴EG=EF=，
∴DG=10﹣=，∴DG=3EG，∴k的值为3；
（3）∵△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，
∴B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=60°，
∴=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，
而∠DHB₁=∠AHE，在△DB₁H与△AEH中
∵∠DB₁H=∠AEH，DB₁=AE，∠DHB₁=∠AHE，
，∴AH=DH．