设m,n是给定的整数,4<m<n,A1A2…A2n+1是一个正2n+1边形,P={A1,A2,…,A2n+1}.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数
题型:不详难度:来源:
设m,n是给定的整数,4<m<n,A1A2…A2n+1是一个正2n+1边形,P={A1,A2,…,A2n+1}.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数. |
答案
先证一个引理:顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角,且有两个锐角时,这两个锐角必相邻. 事实上,设这个凸m边形为P1P2Pm,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设∠PmP1P2<,则∠P2PjPm=π-∠P2P1Pm>(3≤j≤m-1), 更有∠Pj-1PjPj+1>(3≤j≤m-1). 而∠P1P2P3+∠Pm-1PmP1>π,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理. 由引理知,若凸m边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻. 在凸m边形中,设顶点Ai与Aj为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角. 设Ai与Aj的劣弧上包含了P的r条边(1≤r≤n),这样的(i,j)在r固定时恰有2n+1对. (1)若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧AiAj上,而AiAj劣弧上有r-1个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为Cr-1m-2. (2)若凸m边形的其余m-2个顶点全在优弧AiAj上,取Ai,Aj的对径点Bi,Bj,由于凸m边形在顶点Ai,Aj处的内角为锐角, 所以,其余的m-2个顶点全在劣弧BiBj上,而劣弧BiBj上恰有r个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为Crm-2. 所以,满足题设的凸m边形的个数为 | (2n+1)n | | r=1 | (+)=(2n+1)(n | | r=1 | +n | | r=1 | ) | =(2n+1)(n | | r=1 | (-)+n | | r=1 | (-)) |
| | =(2n+1)(Cn+1m-1+Cnm-1). 故顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数为:(2n+1)(Cn+1m-1+Cnm-1). |
举一反三
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