仔细观察下列各式，探究规律：12=1×2×36，12+22=2×3×56，12+22+32=3×4×76，…，（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52

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仔细观察下列各式，探究规律：12=

1×2×3

，12+22=

2×3×5

，12+22+32=

3×4×7

，…，
（1）根据上述规律，求1²+2²+3²+4²+5²的值；
（2）你能用一个含有n的算式表示这个规律吗？请写出这个算式；
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：6²+7²+8²+9²+10²+11²+12²+13²+14²+15²．

答案

（1）1²+2²+3²+4²+5²=

5×6×11

=55；

（2）1²+2²+3²+…+5²=

n(n+1)(2n+1)

；

（3）6²+7²+8²+9²+10²+11²+12²+13²+14²+15²
=（1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²+11²+12²+13²+14²+15²）-（1²+2²+3²+4²+5²）
=

15×16×31

-55
=1240-55
=1185．

举一反三

观察下列各式，探索发现规律．
1×3=3=2²-1；3×5=15=4²-1；
5×7=35=6²-1；7×9=63=8²-1；
9×11=99=10²-1；…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为______．

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观察下列等式：1×

=1-

，2×

=2-

，3×

=3-

，…
（1）探索这些等式中的规律，直接写出第n个等式（用含n的等式表示）；
（2）试说明你的结论的正确性．

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计算：
（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=______，
…
猜想：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=______．
（2）根据以上结果，试写出下列各式的结果．（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=______．
（3）由以上情形，你能求出下面的式子的结果吗？（x²⁰-1）÷（x-1）=______．若能求，直接写出结果；若不能求，请说明理由．

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已知3²+4²=5²，5²+12²=13²，7²+24²=25²，那么在11²+a²=c²中，a=______．

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如果x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₈=2008，x₁-x₂+x₃-…+x₂₀₀₇-x₂₀₀₈=2006，那么x₁+x₃+x₅+…+x₂₀₀₇的值是______．

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