阅读下文,寻找规律:已知x≠1,观察下列各式:(1﹣x)(1+x)=1﹣x2,(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3,(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4…
题型:广东省期中题难度:来源:
阅读下文,寻找规律:已知x≠1,观察下列各式: (1﹣x)(1+x)=1﹣x2,(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3,(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4…(1)填空:(1﹣x)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7)=1﹣x8. (2)观察上式,并猜想: ①(1﹣x)(1+x+x2+…+xn)= _________ . ②(x﹣1)(x10+x9+…+x+1)= _________ . (3)根据你的猜想,计算: ①(1﹣2)(1+2+22+23+24+25)= _________ . ②1+2+22+23+24+…+22007= _________ . |
答案
解: (1)由(1﹣x)(1+x)=1﹣x2, (1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3, (1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4 可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的最大指数,且左边相当于对右边的因式分解,所以得出规律: (1﹣x)(1+x+x2+…+xn)=1﹣xn+1. 即:(1﹣x)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7)=1﹣x8, 空白处应填:(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7). (2)由(1)得出的规律可得: ①(1﹣x)(1+x+x2+…+xn)=1﹣xn+1, 空白处应填:1﹣xn+1②(x﹣1)(x10+x9+…+x+1)=﹣(1﹣x11)=x11﹣1, 空白处应填:x11﹣1. (3)由(1)得出的规律可得 ①(1﹣2)(1+2+22+23+24+25)=1﹣26, 空白处应填1﹣26; ②由(1﹣2)(1+2+22+23+24+…+22007)=1﹣22008 得1+2+22+23+24+…+22007=22008﹣1, 空白处应填22008﹣1. |
举一反三
观察下列各式:1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,…请将你找出的规律用公式表示出来:( ).(请注明公式中字母的取值范围) |
研究下列等式,你会发现什么规律? 1×3+1=4=22,2×4+1=9=32,3×5+1=16=42,4×6+1=25=52… 设n为正整数,请用n表示出规律性的公式来. |
看下面的算式: 42+32>2×4×3, (﹣2)2+12>2×(﹣2)×1, 22+72>2×2×7, 112+(﹣12)2>2×11×(﹣12), 92+92=2×9×9, 122+122=2×12×12, … 通过观察归纳,用字母写出能反映这种规律的一般结论,并说明结论成立的理由. |
观察下列运算并填空: 1×2×3×4+1=24+1=25=52 2×3×4×5+1=120+1=121=112 3×4×5×6+1=360+1=361=192 4×5×6×7+1=( )+1=( )=( )2 7×8×9×10+1=( )+1=( )=( )2 试猜想(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=( )2. |
阅读下文,寻找规律:已知x≠1,计算:(1﹣x)(1+x)=1﹣x2,(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3,(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4… (1)观察上式,猜想:(1﹣x)(1+x+x2+…+xn)= _________ .证明你的猜想: (2)根据你的猜想,计算:(1﹣2)(1+2+22+23+24+25+26)= _________ . |
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