这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四

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这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程）
（3）求国王输给阿基米德的米粒数．

答案

解：（1）第64个格子，应该底数是2，指数63，所以为263；
（2）∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2⁶³的末位数字与23的末位数字相同，是8．
（3）设x=1+2+2²+…+2⁶³ ①．
等式两边同时乘以2，得2x=2+2²+2³+…+2⁶⁴ ②
②﹣①，得x=2⁶⁴﹣1．
答：国王输给阿基米德的米粒数为2⁶⁴﹣1．

举一反三

请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣

，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣

，…你规定的新运算a⊕b=（）。（用a，b的一个代数式表示）。

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将1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6…按一定规律排成下表

（1）写出第8行的数；
（2）探索规律写出第50行的第1个数，简要说明道理．

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阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+…+100=经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n=

，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：
观察下面三个特殊的等式：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1×2=

（1×2×3﹣0×1×2）
2×3=

（2×3×4﹣1×2×3）
3×4=

（3×4×5﹣2×3×4）
将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

×3×4×5=20读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101=
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=                     ．
（只需写出结果，不必写中间的过程）

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观察下列等式：

，

，将以上三个等式两边分别相加得：

（1）猜想并写出：

=________；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

=_______；
②

=_________．
（3）探究并计算：

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生活与数学（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是；

（2）玛丽也在上面的日历上圈出2?2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是       ；
（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是           ；
（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是            号；
（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是         ；
③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为270，则斜框的中间一个数是              ．

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