若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足SnS2n为常数,则称该数列为S数列.(Ⅰ)判断an=4n-2是否为S数列?并说明理由;(Ⅱ)若首项为a1的等差数列{
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若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足SnS2n为常数,则称该数列为S数列.(Ⅰ)判断an=4n-2是否为S数列?并说明理由;(Ⅱ)若首项为a1的等差数列{
题型:不详
难度:
来源:
若等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足
S
n
S
2n
为常数,则称该数列为S数列.
(Ⅰ)判断a
n
=4n-2是否为S数列?并说明理由;
(Ⅱ)若首项为a
1
的等差数列{a
n
}(a
n
不为常数)为S数列,试求出其通项公式.
答案
(Ⅰ)由a
n
=4n-2,得a
1
=2,d=4,
S
n
S
2n
=
2n+
1
2
n(n-1)4
2n•2+
1
2
•2n(2n-1)4
=
1
4
,
所以它为S数列;
(Ⅱ)设等差数列{a
n
},公差为d,则
S
n
S
2n
=
a
1
n+
1
2
n(n-1)d
2
a
1
n+
1
2
•2n(2n-1)d
=k
(常数),
∴2a
1
n+n
2
d-nd=4a
1
kn+4n
2
dk-2nkd,化简得d(4k-1)n+(2k-1)(2a
1
-d)=0①,
由于①对任意正整数n均成立,
则
d(4k-1)=0
(2k-1)(2
a
1
-d)=0
解得:
d=2
a
1
≠0
k=
1
4
.
,
故存在符合条件的等差数列,其通项公式为:a
n
=(2n-1)a
1
,其中a
1
≠0.
举一反三
在等差数列{a
n
}中,a
4
=9,a
9
=-6,S
n
是其前n项和,以下命题正确的是______
①S
6
=S
7
;②{a
n
}是递减数列;③S
7
=S
8
;④S
5
=S
7
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,满足
a
n
+
S
n
=3-
8
2
n
,设
b
n
=
2
n
•
a
n
.
(1)求证:数列{b
n
}是等差数列,并求出数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
•b
n
}中最大项;
(3)求证:对于给定的实数λ,一定存在正整数k,使得当n≥k时,不等式λS
n
<b
n
恒成立.
题型:江苏一模
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且过点P(n,a
n
)和Q(n+3,a
n+3
)(n∈N
*
)的直线的斜率是4,若S
1
=3,则S
6
=______.
题型:台州二模
难度:
|
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已知数列{a
n
}为等差数列,且a
3
=7,a
7
=15.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足a
n
=log
3
b
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:越秀区模拟
难度:
|
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已知{a
n
}是公差为d的等差数列,{b
n
}是公比为q的等比数列.
(1)若a
n
=3n+1,是否存在m、k∈N
*
,有a
m
+a
m+1
=a
k
?说明理由;
(2)找出所有数列{a
n
}和{b
n
},使对一切n∈N
*
,
a
n+1
a
n
=
b
n
,并说明理由;
(3)若a
1
=5,d=4,b
1
=q=3,试确定所有的p,使数列{a
n
}中存在某个连续p项的和是数列{b
n
}中的一项,请证明.
题型:上海
难度:
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