周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?

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周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?
答案
设存在如上的直角三角形,设两直角边分别为a,b,斜边为c,
∵a+b+c=6(1);
a2+b2=c2(2)
∴(a+b)2=(6-c)2(3)
1
2
ab=9-3c为整数,
∴c为整数或以3为分母的分数;
∵直角三角形斜边最长则有c>2,根据三角形三边边长规律有c<3;
∴2<c<3;
∴c应为以3为分母的分数,c=
7
3
8
3

当c=
7
3
时,根据(1)(2)式有:b=6或
4
3
,a=-
7
3
7
3
,不合题意.
当c=
8
3
时,根据(1)(2)式有:b=
5-


7
3
,a=
5+


7
3
或a=
5-


7
3
,b=
5+


7
3

∴这样的直角三角形存在,恰有一个,两条直角边为
5-


7
3
5+


7
3
,斜边为
8
3
举一反三
方程组





xy+yz=63
xz+yz=23
的正整数解的组数是(  )
A.1B.2C.3D.4
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求满足
1
x
+
1
y
+
1
z
=
5
6
,且x≥y≥z的所有正整数解.
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已知a>b,且(a+b)+(a+ab-b)+
a
b
=243
,a,b为自然数,求a,b的值.
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正整数x、y、z满足x≤y≤z,
1
yz
1
zx
+
1
xy
=
1
5
,这样的数组(x,y,z)有______组.
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方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为(  )
A.8B.6C.4D.2
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