周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？

题型：不详难度：来源：

周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？

答案

设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵a+b+c=6（1）；
a²+b²=c²（2）
∴（a+b）²=（6-c）²（3）
∵

1

2

ab=9-3c为整数，
∴c为整数或以3为分母的分数；
∵直角三角形斜边最长则有c＞2，根据三角形三边边长规律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c应为以3为分母的分数，c=

7

3

或

8

3

；
当c=

7

3

时，根据（1）（2）式有：b=6或

4

3

，a=-

7

3

或

7

3

，不合题意．
当c=

8

3

时，根据（1）（2）式有：b=

5- 7

3

，a=

5+ 7

3

或a=

5- 7

3

，b=

5+ 7

3

，
∴这样的直角三角形存在，恰有一个，两条直角边为

5- 7

3

与

5+ 7

3

，斜边为

8

3

．