已知正整数a、b、c满足:a<b<c,且ab+bc+ca=abc.求所有符合条件的a、b、c.
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已知正整数a、b、c满足:a<b<c,且ab+bc+ca=abc.求所有符合条件的a、b、c. |
答案
解法一:由1≤a<b<c知abc=ab+bc+ca<3bc, 所以a<3,故a=1或者a=2. (1)当a=1时,有b+bc+c=bc, 即b+c=0,这与b、c为正整数矛盾. (2)当a=2时,有2b+bc+2c=2bc,即bc-2b-2c=0, 所以(b-2)(c-2)=4, 又因为2<b<c,故0<b-2<c-2, 于是b-2=1,c-2=4.即b=3,c=6, 所以,符合条件的正整数仅有一组:a=2,b=3,c=6.
解法二:∵ab+bc+ca=abc, ∴++=1, ∵a<b<c, ∴>>, 所以>,1<a<3,a=2. ∴+=, 所以>,2<b<4,b=3. 由上得,c=6, 所以,唯一a=2,b=3,c=6. |
举一反三
对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc).如果对于任意实数u,v,都有(u,v)△(x,y)=(u,v),那么(x,y)为( )A.(0,1) | B.(1,0) | C.(-1,0) | D.(0,-1) |
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方程y2=x2+2006的正整数解的个数是 ______. |
周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个? |
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