已知方程x3-(1+2·3m)x2+(5n+2·3m)x-5n=0。(1)若n=m=0,求方程的根;(2)找出一组正整数n,m,使得方程的三个根均为整数;(3)
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已知方程x3-(1+2·3m)x2+(5n+2·3m)x-5n=0。 (1)若n=m=0,求方程的根; (2)找出一组正整数n,m,使得方程的三个根均为整数; (3)证明:只有一组正整数n,m,使得方程的三个根均为整数。 |
答案
解:(1)若n=m=0,则方程化为x3-3x2+3x-1=0, 即(x-1)3=0, 所以x1=x2=x3=1; (2)方程化为(x-1)(x2-2·3mx+5n)=0, 设方程x2-2·3mx+5n=0的两个解为x1,x2 则x1,2=, 当m=n=1时,方程的三个根均为整数; (3)设9m-5n=k2(其中k为整数) 所以9m-k2=5n,即(3m-k)(3m+k)=5n, 不妨设(其中i+j=n,i,j为非负整数), 因此:2·3m=5j(5j-i+1), 又∵5不能整除2·3m, ∴i=0, 因此有2·43m=5n+1,要使三根均为整数,则只有一组正整数m=n=1, 此时x1=x2=1,x3=5。 |
举一反三
两盒糖果一共176块,从第二个盒子中取出16块,放入第一个盒子中,这时第一个盒子中的块数比第二个盒子中糖果的块数的m倍(m为大于1的整数)多31,那么第一个盒子中原来至少有糖果 |
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A.128块 B.129块 C.130块 D.131块 |
小刚所在的八年级1班组建了一支业余足球队,小刚的好朋友小明问小刚的号码,小刚说:“若设我的号是x,那么把我们队所有人的号码加起来,再减去我的号码,恰好等于100,而我们队员的号码是从1开始,既没有跳号,也没有重复.”请你算一下,小刚的号码是 _________ ,他们队共有 _________ 人. |
解方程: |
某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡,并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡.问这间宿舍里住有多少位学生. |
方程x2+2xy+3y2=34的整数解(x,y)的组数为 |
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A.3 B.4 C.5 D.6 |
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