某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图

题型：陕西难度：来源：

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．
如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的2

3

km处．
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

答案

方案一：
由题意可得：MB⊥OB，
∴点M到甲村的最短距离为MB，（1分）
∵点M到乙村的最短距离为MD，
∴将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB线路铺设的长度之和最小，
即最小值为MB+MD=3+2

3

（km）；（3分）
方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M"，则MM"=2ME，
连接AM"交OE于点P，PE∥AM，PE=

1

2

AM，
∵AM=2BM=6，∴PE=3，（4分）
在Rt△DME中，∵DE=DM?sin60°=2

3

×

3

2

=3，
ME=

1

2

DM=

1

2

×2

3

=

3

，
∴PE=DE，∴P点与D点重合，即AM"过D点，（6分）
在线段CD上任取一点P"，连接P"A，P′M，P"M"，
则P"M=P′M"，
∵AP"+P"M"＞AM"，
∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小，
即最小值为AD+DM=AM"=

AM2+MM′2

=

62+(2 3 )2

=4

3

；（7分）
方案三：作点M关于射线OF的对称点M"，作M"N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM"，
∴M"N为点M"到OE的最短距离，即M"N=GM+GN
在Rt△M"HM中，∠MM"N=30°，MM"=6，
∴MH=3，∴NE=MH=3，


∵DE=3，∴N，D两点重合，即M"N过D点，
在Rt△M"DM中，DM=2

3

，∴M"D=4

3

（10分）
在线段AB上任取一点G"，过G"作G"N"⊥OE于N"点，
连接G"M"，G"M，
显然G"M+G"N"=G"M"+G"N"＞M"D，
∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD
线路铺设的长度之和最小，即最小值为GM+GD=M"D=4

3

，（11分）
综上，∵3+2

3

＜4

3

，
∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．（12分）