(2013•重庆)对正整数n,记In={1,2,3…,n},Pn={|m∈In,k∈In}.(1)求集合P7中元素的个数;(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和
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(2013•重庆)对正整数n,记In={1,2,3…,n},Pn={|m∈In,k∈In}.(1)求集合P7中元素的个数;(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
(2013•重庆)对正整数n,记I
n
={1,2,3…,n},P
n
={
|m∈I
n
,k∈I
n
}.
(1)求集合P
7
中元素的个数;
(2)若P
n
的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使P
n
能分成两个不相交的稀疏集的并.
答案
(1)46 (2)n的最大值为14
解析
(1)对于集合P
7
,有n=7.当k=4时,P
n
={
|m∈I
n
,k∈I
n
}中有3个数(1,2,3)与
I
n
={1,2,3…,n}中的数重复,由此求得
集合P
7
中元素的个数为 7×7﹣3=46.
(2)先证当n≥15时,P
n
不能分成两个不相交的稀疏集的并集.否则,设A和B为两个不相交的稀疏集,使A∪B=P
n
⊇I
n
.
不妨设1∈A,则由于1+3=2
2
,∴3∉A,即3∈B.同理可得,6∈A,10∈B.又推出15∈A,但1+15=4
2
,
这与A为稀疏集相矛盾.
再证P
14
满足要求.当k=1时,P
14
={
|m∈I
14
,k∈I
14
}=I
14
,可以分成2个稀疏集的并集.
事实上,只要取A
1
={1,2,4,6,9,11,13},B
1
={3,5,7,8,10,12,14},则A
1
和B
1
都是稀疏集,且A
1
∪B
1
=I
14
.
当k=4时,集合{
|m∈I
14
}中,除整数外,剩下的数组成集合{
,
,
,…,
},可以分为下列3个稀疏集的并:
A
2
={
,
,
,
},B
2
={
,
,
}.
当k=9时,集合{
|m∈I
14
}中,除整数外,剩下的数组成集合{
,
,
,
,…,
,
},
可以分为下列3个稀疏集的并:
A
3
={
,
,
,
,
},B
3
={
,
,
,
,
}.
最后,集合C═{
|m∈I
14
,k∈I
14
,且k≠1,4,9 }中的数的分母都是无理数,
它与P
n
中的任何其他数之和都不是整数,
因此,令A=A
1
∪A
2
∪A
3
∪C,B=B
1
∪B
2
∪B
3
,则A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P
14
.
综上可得,n的最大值为14.
举一反三
若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足
,则称a、 b、c是调和的;若满a + c = 2b足,则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的,又是等差的,则称集合P为“好
集”.若集合
,集合
.则
(1)“好集” P中的元素最大值为
;
(2)“好集” P的个数为
.
题型:填空题
难度:一般
|
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设
是集合
到集合
的映射,若
,则
为( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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已知集合A={0,1},B={2},定义集合M={x|x=ab+a-b,a,b∈A或B},则M中所有元素之和为( )
A.7
B.0
C.-1
D.6
题型:单选题
难度:简单
|
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已知集合
,
若
,则实的数
取值范围是____________ .
题型:填空题
难度:简单
|
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设全集U ={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},集合B={3,5},则
=( )
A.{5}
B.{1,2,3,4,5}
C.{1,3,5}
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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