已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称
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已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称
题型:解答题
难度:困难
来源:北京期末题
已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s
1
,s
2
,都有|s
1
-s
2
|≠m,则称S具有性质P,
(1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}是否具有性质P?并说明理由;
(2)若集合S具有性质P,试判断集合T={(2n+1)-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由。
答案
解:(1)当n=10时,集合A={1,2,3,…,19,20},
B={x∈A|x>9}={10,11,12,…,19,20}不具有性质P,
因为对任意不大于10的正整数m,都可以找到该集合中两个元素b
1
=10与b
2
=10+m,使得|b
1
-b
2
|=m成立. 集合C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}具有性质P,
因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素
,
都有
。
(2)若集合S具有性质P.那么集合T=|(2n+1)-x|x∈|S}一定具有性质P.
首先因为T={(2n+1)-x|x∈S},任取t=(2n+1)-x
0
∈T,其中x
0
∈S,
因为S
A,所以x
0
∈{1,2,3,…,2n},
而1≤(2n+1)-x
0
≤2n,即t∈A,所以T
A,
由S具有性质P,可知存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素
,都有
,
对上述取定的不大于n的正整数m,
从集合T=|(2n+1)-x|x∈S}中任取元素
,其中
,
都有
,
因为
,
所以有
,即
,
所以集合
具有性质P。
举一反三
已知向量
p
=(2,x-1),
q
=(x,-3),且
p
⊥
q
,若由x的值构成的集合A满足A
{x|ax=2},则实数a构成的集合是
[ ]
A.{0}
B.{
}
C.
D.{0,
}
题型:单选题
难度:简单
|
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定义A
B={z|z=xy+
,x∈A,y∈B},设集合A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A
B)
C的所有元素之和为
[ ]
A.3
B.9
C.18
D.27
题型:单选题
难度:简单
|
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设数列{a
n
}满足a
1
=a,a
n+1
=a
n
2
+a
1
,M={a∈R|n∈N*,|a
n
|≤2}。
(1)当a∈(-∞,-2)时,求证:a
M;
(2)当a∈(0,
]时,求证:a∈M;
(3)当a∈(
,+∞)时,判断元素a与集合M的关系,并证明你的结论。
题型:解答题
难度:一般
|
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已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S:若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s
1
,s
2
,都有|s
1
-s
2
|≠m,则称S具有性质P。
(1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*)是否具有性质P?并说明理由; (2)若集合S具有性质P,试判断集合T={(2n+1)-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由。
题型:解答题
难度:一般
|
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已知集合A={a
1
,a
2
,…,a
n
}中的元素都是正整数,且a
1
<a
2
<…<a
n
,集合A具有性质P:对任意的x,y∈A,且x≠y,有
。
(1)判断集合{1,2,3,4)是否具有性质P;
(2)求证:
;
(3)求证:n≤9。
题型:解答题
难度:一般
|
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