已知函数f(x)=4sinxsin2(π4+x2)+cos2x-1.(1)设ω>0为常数,若y=f(ωx)在区间[-π2,2π3]上是增函数,求ω的取值范围;(
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已知函数f(x)=4sinxsin2(π4+x2)+cos2x-1.(1)设ω>0为常数,若y=f(ωx)在区间[-π2,2π3]上是增函数,求ω的取值范围;(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=4sinxsi
n
2
(
π
4
+
x
2
)+cos2x-1
.
(1)设ω>0为常数,若
y=f(ωx)在区间[-
π
2
,
2π
3
]
上是增函数,求ω的取值范围;
(2)设集合
A={x|
π
6
≤x≤
2π
3
},B={x|[
1
2
f(x)
]
2
-mf(x)+
m
2
+m-1>0}
,若A⊂B恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(本小题满分14分)
(1)
f(x)=4sinx•
1-cos(
π
2
+x)
2
+cos2x-1
=2sinx(1+sinx)-2sin
2
x=2sinx.
∵
f(ωx)=2sinωx在[-
π
2
,
2π
3
]
是增函数,
∴
[-
π
2
,
2π
3
]⊆[-
π
2ω
,
π
2ω
]
⇒
2π
3
≤
π
2ω
,∴
ω∈(0,
3
4
]
(2)
[
1
2
f(x)
]
2
-mf(x)+
m
2
+m-1
=sin
2
x-2msinx+m
2
+m-1>0
因为
x∈[
π
6
,
2π
3
]
,设sinx=t,则t∈[
1
2
,1]
上式化为t
2
-2mt+m
2
+m-1>0
由题意,上式在t∈[
1
2
,1]上恒成立.
记f(t)=t
2
-2mt+m
2
+m-1,
这是一条开口向上抛物线,
则
m<
1
2
f(
1
2
)>0
或
1
2
≤m≤1
△<0
或
m>1
f(1)>0
解得:
m<-
3
2
或m>1
.
举一反三
已知集合M={(a+3)+(b
2
-1)i,8},集合N={3i,(a
2
-1)+(b+2)i}同时满足M∩N
⊂
≠
M,M∩N≠φ,求整数a,b.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>3},B={x|-1≤x≤4},那么集合(∁
U
A)∩B=( )
A.{x|-2≤x≤4}
B.{x|x≤3或x≥4}
C.{x|-2≤x≤-1}
D.{x|-1≤x≤3}
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知全集S={0,1,3,5,7,9},C
S
A={0,5,9},B={3,5,7},则A∩B=( )
A.{5,7}
B.{3,5,7}
C.{3,7}
D.∅
题型:单选题
难度:简单
|
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已知A={x|x
2
-ax+a
2
-19=0},B={x|log
3
(x
2
+x-3)=1},C={x|
3
x
2
-7x+10
=1},且∅⊊A∩B,A∩C=∅,求实数a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={x∈Z
题型:x|≤a},则满足A⊊B的实数a可以取的一个值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
难度:
|
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