设函数f(x)定义域为R且f(x)的值恒大于0,对于任意实数x,y,总有f(x+y)=f(x)•f(y),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(0)=1,
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)定义域为R且f(x)的值恒大于0,对于任意实数x,y,总有f(x+y)=f(x)•f(y),且当x<0时,f(x)>1. (1)求证:f(0)=1,且f(x)在R上单调递减; (2)设集合A={(x,y)|f(x2)•f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B≠∅,求a的取值范围. |
答案
(1)证明:令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0), 又当x<0时,f(x)>1,所以有f(0)=1 …(2分) 设x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,于是f(x1-x2)>1…3分 ∴f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)…4分 =f(x1-x2)•f(x2)-f(x2) =f(x2)[f(x1-x2)-1]…5分 ∵f(x)在R上恒大于0, ∴f(x2)>0, ∴f(x2)[f(x1-x2)-1]>0, ∴f(x1)>f(x2),即f(x)在R上单调递减;…6分 (2)由f(x2)•f(y2)>f(1),得f(x2+y2)>f(1), ∵f(x)在R上单调递减, ∴x2+y2<1,即A表示圆x2+y2=1的内部…8分 由f(ax-y+2)=1=f(0)得:ax-y+2=0, ∴B表示直线ax-y+2=0…10分 ∵A∩B≠∅, ∴直线与圆相交,即<1解得:a>或a<-…13分 |
举一反三
已知集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0,a>1}. (1)求集合A,B; (2)若(∁RA)∪B=B,求实数a的取值范围. |
已知A={x|x2+2x-8=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2-ax+a2-19=0};若A∩C=∅,B∩C≠∅,求a的值. |
已知函数f(x)=lg(x-2)的定义域为A,函数g(x)=x,x∈[0,9]的值域为B. (1)求A∩B; (2)若C={x|x≥2m-1}且(A∩B)⊆C,求实数m的取值范围. |
已知全集U=R,集合A={x|y=},B={x|0<x<2},则(∁∪A)∪B=( )A.[1,+∞) | B.(1,+∞) | C.[0,+∞) | D.(0,+∞) |
|
已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于( )A.R | B.{y|y≥0} | C.{(0,0),(1,1)} | D.∅ |
|
最新试题
热门考点