已知数列{an},an=pn+λqn(p>0,q>0,p≠q,λ∈R,λ≠0,n∈N*).(1)求证:数列{an+1-pan}为等比数列;(2)数列{an}中,
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知数列{an},an=pn+λqn(p>0,q>0,p≠q,λ∈R,λ≠0,n∈N*). (1)求证:数列{an+1-pan}为等比数列; (2)数列{an}中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由; (3)设A={(n,bn)|bn=3n+kn,n∈N*},其中k为常数,且k∈N*,B={(n,cn)|cn=5n,n∈N*},求A∩B. |
答案
(1)∵an=pn+λqn, ∴an+1-pan=pn+1+λqn+1-p(pn+λqn)=λqn(q-p), ∵λ≠0,q>0,p≠q ∴=q为常数 ∴数列{an+1-pan}为等比数列 (2)取数列{an}的连续三项an,an+1,an+2(n≥1,n∈N*), ∵an+12-anan+2=(pn+1+λqn+1)2-(pn+λqn)(pn+2+λqn+2)=-λpnqn(p-q)2, ∵p>0,q>0,p≠q,λ≠0, ∴-λpnqn(p-q)2≠0,即an+12≠anan+2, ∴数列{an}中不存在连续三项构成等比数列; (3)当k=1时,3n+kn=3n+1<5n,此时B∩C=∅; 当k=3时,3n+kn=3n+3n=2•3n为偶数;而5n为奇数,此时B∩C=∅; 当k≥5时,3n+kn>5n,此时B∩C=∅; 当k=2时,3n+2n=5n,发现n=1符合要求, 下面证明唯一性(即只有n=1符合要求). 由3n+2n=5n得()n+()n=1, 设f(x)=()x+()x,则f(x)=()x+()x是R上的减函数, ∴f(x)=1的解只有一个 从而当且仅当n=1时()n+()n=1, 即3n+2n=5n,此时B∩C={(1,5)}; 当k=4时,3n+4n=5n,发现n=2符合要求, 下面同理可证明唯一性(即只有n=2符合要求). 从而当且仅当n=2时()n+()n=1, 即3n+4n=5n,此时B∩C={(2,25)}; 综上,当k=1,k=3或k≥5时,B∩C=∅; 当k=2时,B∩C={(1,5)}, 当k=4时,B∩C={(2,25)}. |
举一反三
已知全集U={1,2,3,4,5},集合P={1,2,3},Q={2,3,4},那么CU(P∪Q)=______. |
已知集合M={1,2,3,4,5,6},N={x|-2<x<5,x∈Z},则集合M∩N=______. |
己知A={x|y=},B={y|y=x2-2},,则A∩B=( )A.[0,+∞) | B.[-2,2] | C.[-2,+∞) | D.[2,+∞) |
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已知集合A={x|8x<4},B={x|lgx<1},则A∩B=______. |
已知集合A={x|x+1>0},B={x题型:x|≤2},则A∩B=( )A.{x|x≥-1} | B.{x|x≤2} | C.{x|-1<x≤2} | D.{x|-1≤x≤2} |
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难度:|
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