(1)∵f(x)=x2-(a+2)x+alnx, ∴f′(x)=2x-(a+2)+==,其中x>0, 令f"(x)=0,得x=1或x=. ∵a>2,∴>1. 当0<x<1及x>时,f"(x)>0; 当1<x<时,f"(x)<0; ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(,+∞). (2)当a=4时,f(x)=x2-6x+4lnx,f′(x)=2x+-6==,其中x>0, 当x∈(0,1),(2,+∞)时,f′(x)>0. 当x∈(1,2)时,f′(x)<0. ∴f(x)在x∈(0,1),(2,+∞)时为增函数, 在x∈(1,2)时为减函数. ∴f(x)的极大值为f(1)=-5,极小值为f(2)=4ln2-8. 要使函数y=f(x)-m有三个不同的零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同交点, 如图,则m的取值范围是(4ln2-8,-5). (3)由(2)知,当a=4时,函数y=f(x)在其图象上一点P(x0,f(x0))处的切线方程为: y=m(x)=(2x0+-6)(x-x0)+x02-6x0+4lnx0, 设φ(x)=f(x)-m(x)=x2-6x+4lnx-(2x0+-6)(x-x0)-(x02-6x0+4lnx0), 则φ(x0)=0. ϕ′(x)=2x+-6-(2x0+-6)=2(x-x0)(1-)=(x-x0)(x-) 若x0<,φ(x)在(x0,)上单调递减, ∴当x∈(x0,)时,φ(x)<φ(x0)=0,此时<0; 若x0>,φ(x)在(,x0)上单调递减, ∴当x∈(,x0)时,φ(x)>φ(x0)=0,此时<0. ∴y=f(x)在(0,)∪(,+∞)上不存在“类对称点”. 若x0=,(x-)2>0, ∴φ(x)在(0,+∞)上是增函数, 当x>x0时,φ(x)>φ(x0)=0, 当x<x0时,φ(x)<φ(x0)=0,故>0. 即此时点P是y=f(x)的“类对称点” 综上,y=f(x)存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标. |