已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13(a∈R).(1)函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为12x-y+b=0(b∈R),
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已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13(a∈R).(1)函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为12x-y+b=0(b∈R),
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
a
3
x
3
-
1
2
(a+1)
x
2
+x-
1
3
(a∈R).
(1)函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为12x-y+b=0(b∈R),求a与b的值;
(2)若a<0,求函数f(x)的极值;
(3)是否存在实数a使得函数f(x)在区间[0,2]上有两个零点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)已知函数
f(x)=
a
3
x
3
-
1
2
(a+1)
x
2
+x-
1
3
(a∈R).
则导数f′(x)=ax
2
-(a+1)x+1,
函数f(x)的图象在x=-1处的切线方程为12x-y+b=0可知:
f′(-1)=a+(a+1)+1=12,f(-1)=-
a
3
-
1
2
(a+1)-1-
1
3
=-12+b,
解得a=5,b=6;
(2)f′(x)=ax
2
-(a+1)x+1=a(x-1)(x-
1
a
)
∵a<0,∴
1
a
<1,
(-∞,
1
a
)
1
a
(
1
a
,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
递减
极小值
递增
极大值
递减
举一反三
函数y=a
x
+log
a
x(a>0,a≠1)零点的个数为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
4
-4x
3
+10x
2
,则方程f(x)=0在区间[1,2]上的根有( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
若二次函数y=ax
2
+4x-2有零点,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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关于x的方程3sinx+4cosx=2m-1有解,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(x)=
0,x=0
|lg|x
题型:,x≠0
,则方程f
2
(x)-f(x)=0的实根的个数是______.
难度:
|
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