已知函数f（x）=x2+ax+1，若∃θ∈(π4，π2)，f(sinθ)=f(cosθ)，则实数a的取值范围为______．

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²+ax+1，若∃θ∈(

π

4

，

π

2

)，f(sinθ)=f(cosθ)，则实数a的取值范围为______．

答案

∵函数f（x）=x²+ax+1，∃θ∈(

π

4

，

π

2

)，f(sinθ)=f(cosθ)，
∴sin²θ-asinθ+1=cos²θ-acosθ+1，
∴sin²θ-cos²θ=a（sinθ-cosθ）
∴（sinθ+cosθ）（sinθ-cosθ）=a（sinθ-cosθ），
∵θ∈（

π

4

，

π

2

），∴sinθ-cosθ≠0，
∴sinθ+cosθ=a，a=

2

sin（θ+

π

4

），
由θ∈（

π

4

，

π

2

），得：θ+

π

4

∈（

π

2

，

3π

4

），
∴sin（θ+

π

4

）∈（

2

2

，1），
所以：a=

2

sin（θ+

π

4

）∈（1，

2

）．
故答案为：（1，

2

）．