已知函数f(x)=|x|,x∈p-x2+2x,x∈M其中P,M是非空数集,且P∩M=φ,设f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=其中P,M是非空数集,且P∩M=φ,设f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}. (I)若P=(-∞,0),M=[0,4],求f(P)∪f(M); (II)是否存在实数a>-3,使得P∪M=[-3,a],且f(P)∪f(M)=[-3,2a-3]?若存在,请求出满足条件的实数a;若不存在,请说明理由; (III)若P∪M=R,且0∈M,I∈P,f(x)是单调递增函数,求集合P,M. |
答案
(I)∵P=(-∞,0),∴f(P)={y|y=|x|,x∈(-∞,0)}=(0,+∞), ∵M=[0,4],∴f(M)={y|y=-x2+2x,x∈[0,4]}=[-8,1]. ∴f(P)∪f(M)=[-8,+∞) (II)若-3∈M,则f(-3)=-15∉[-3,2a-3],不符合要求 ∴-3∈P,从而f(-3)=3 ∵f(-3)=3∈[-3,2a-3] ∴2a-3≥3,得a≥3 若a>3,则2a-3>3>-(x-1)2+1=-x2+2x ∵P∩M=∅,∴2a-3的原象x0∈P且3<x0≤a ∴x0=2a-3≤a,得a≤3,与前提矛盾 ∴a=3 此时可取P=[-3,-1)∪[0,3],M=[-1,0),满足题意 (III)∵f(x)是单调递增函数,∴对任意x<0,有f(x)<f(0)=0,∴x∈M ∴(-∞,0)⊆M,同理可证:(1,+∞)⊆P 若存在0<x0<1,使得x0∈M,则1>f(x0)=-x02+2x0>x0, 于是[x0,-x02+2x0]⊆M 记x1=-x02+2x0∈(0,1),x2=-x12+2x1,… ∴[x0,x1]∈M,同理可知[x1,x2]∈M,… 由xn+1=-xn2+2xn,得1-xn+1=1+xn2-2xn=(1-xn )2; ∴1-xn=(1-xn-1 )2=(1-xn-2)22=…=(1-x0)2n 对于任意x∈[x0,1],取[log2log(1-x0)(1-x)-1,log2log(1-x0)(1-x)]中的自然数nx,则 x∈[xnx,xnx+1]⊆M ∴[x0,1)⊆M 综上所述,满足要求的P,M必有如下表示: P=(0,t)∪[1,+∞),M=(-∞,0]∪[t,1),其中0<t<1 或者P=(0,t]∪[1,+∞),M=(-∞,0]∪(t,1),其中0<t<1 或者P=[1,+∞),M=(-∞,1] 或者P=(0,+∞),M=(-∞,0] |
举一反三
集合P={-1,0,1},Q={y|y=cosx,x∈R},则P∩Q=( ) |
满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数( ) |
已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A=3{,4,5,6},B={1,2,3,4}.则CUA∩B=( ) |
已知A={y|y=-4x2+6},B={y|y=5x-3},则A∩B等于( )A.{-, 2} | B.{(1, 2), (-, -)} | C.{y|-≤y≤2} | D.{y|y≤6} |
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已知A={x题型:x-a|<4},B={x|≥0},且A∪B=R,则a的范围是______. |
难度:|
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