(1)要使原函数有意义,则>0,解得-1<x<1, 所以函数f(x)的定义域D=(-1,1). 函数f(x)在定义域内为奇函数. 证明:对任意x∈D,f(-x)=loga=loga()-1=-loga()=-f(x) 所以函数f(x)是奇函数. 另证:对任意x∈D,f(-x)+f(x)=loga+loga()=loga1=0 所以函数f(x)是奇函数. (2)设x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=loga-loga=loga(•)=loga1-x1x2+(x2-x1) | 1-x1x2-(x2-x1) | . ∵x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, ∴1-x1x2+(x2-x1)-[1-x1x2-(x2-x1)]=2(x2-x1)>0. ∴1-x1x2+(x2-x1)>[1-x1x2-(x2-x1)]=(1-x1)(1-x2)>0. ∴1-x1x2+(x2-x1) | 1-x1x2-(x2-x1) | >1. ∵0<a<1, ∴loga1-x1x2+(x2-x1) | 1-x1x2-(x2-x1) | <0 ∴f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在D上是增函数. (3)由(2)知,函数f(x)在(-1,1)上是增函数, 又因为x∈(t,a)时,f(x)的值域是(-∞,1), 所以(t,a)⊆(-1,1)且g(x)=在(t,a)的值域是(a,+∞), 故g(a)==a且t=-1(结合g(x)图象易得t=-1) 由=a,得:a2+a=1-a,解得:a=-1或a=--1(舍去). 所以a=-1,t=-1. |