已知函数f(x)=1+x+1-x.(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设F(x)=ax•[f2(x)-2]+f(x)(a为实数),求F(x)在a<0时的最

已知函数f(x)=1+x+1-x.(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设F(x)=ax•[f2(x)-2]+f(x)(a为实数),求F(x)在a<0时的最

题型:解答题难度:一般来源:长宁区一模
已知函数f(x)=


1+x
+


1-x

(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设F(x)=
a
x
•[f2(x)-2]+f(x)(a为实数),求F(x)在a<0时的最大值g(a);
(3)对(2)中g(a),若-m2+2tm+


2
≤g(a)对a<0所有的实数a及t∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,
所以函数的定义域为[-1,1],
又[f(x)]2=2+2


1-x2
∈[2,4],由f(x)≥0,得f(x)∈[


2
,2],
所以函数值域为[


2
,2];
(2)因为F(x)=
a
2
•[f2(x)-2]+f(x)
=a


1-x2
+


1+x
+


1-x

令t=f(x)=


1+x
+


1-x
,则


1-x2
=
1
2
t2
-1,
∴F(x)=m(t)=a(
1
2
t2
-1)+t=
1
2
at2+t-a
,t∈[


2
,2],
由题意知g(a)即为函数m(t)=
1
2
at2+t-a
,t∈[


2
,2]的最大值.
注意到直线t=-
1
a
是抛物线m(t)=
1
2
at2+t-a
的对称轴.
因为a<0时,函数y=m(t),t∈[


2
,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,
①若t=-
1
a
∈(0,


2
],即a≤-


2
2
,则g(a)=m(


2
)=


2

②若t=-
1
a
∈(


2
,2],即-


2
2
<a≤-
1
2
,则g(a)=m(-
1
a
)=-a-
1
2a

③若t=-
1
a
∈(2,+∞),即-
1
2
<a<0,则g(a)=m(2)=a+2,
综上有g(a)=





a+2,-
1
2
<a<0
-a-
1
2a
,-


2
2
<a≤-
1
2


2
,a≤-


2
2

(3)易得gmin(a)=


2

由-m2+2tm+


2
≤g(a)对a<0恒成立,即要使-m2+2tm+


2
≤gmin(a)=


2
恒成立,
⇒m2-2tm≥0,令h(t)=-2mt+m2,对所有的t∈[-1,1],h(t)≥0成立,
只需





h(-1)=2m+m2≥0
h(1)=-2m+m2≥0

解得m的取值范围是m≤-2或m=0,或m≥2.
举一反三
已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,2],则y的值域是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
二次函数y=x2-4x+3在区间(1,4]上的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知g(x)=|x-1|-|x-2|,则g(x)的值域为______;若关于x的不等式g(x)≥a2+a+1(x∈R)的解集为空集,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数y=(
1
2
 x2-2x的值域为(  )
A.[
1
2
,+∞
B.(-∞,2]C.(0,
1
2
]
D.(0,2]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=


1-x2
的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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