已知函数f(x)=ln(1+x)-px.(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数p的取值范围;(2)如果数列{an}满足a1=3,an+1=[1+1n2(

已知函数f(x)=ln(1+x)-px.(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数p的取值范围;(2)如果数列{an}满足a1=3,an+1=[1+1n2(

题型:解答题难度:一般来源:永州一模
已知函数f(x)=ln(1+x)-p


x

(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数p的取值范围;
(2)如果数列{an}满足a1=3,an+1=[1+
1
n2(n+1)2
]an+
1
4n
,试证明:当n≥2时,4≤an<4e
3
4
答案
(1)函数f(x)=ln(1+x)-p


x
的定义域为[0,+∞),
f(x)=
1
1+x
-
p
2


x
=
2


x
-p(1+x)
2(1+x)


x

依题意,2


x
-p(1+x)≤0
恒成立,所以p≥(
2


x
1+x
)max

x≥0⇒1+x≥2


x
2


x
1+x
≤1
,知(
2


x
1+x
)max=1

∴p≥1,∴p的取值范围为[1,+∞).
(2)首先,由a1=3,得a2=[1+
1
12×22
]×3+
1
4
=4

而当an>0时有an+1-an=
1
n2(n+1)2
an+
1
4n
>0
,∴an+1>an
所以,对n∈N*(n≥2),都有an≥4.
再由an+1=[1+
1
n2(n+1)2
]an+
1
4n
及an≥4,
又得an+1≤[1+
1
n2(n+1)2
]an+
an
4n+1
=[1+
1
n2(n+1)2
+
1
4n+1
]an

lnan+1≤ln{[1+
1
n2(n+1)2
+
1
4n+1
]an}=ln[1+
1
n2(n+1)2
+
1
4n+1
]+lnan

lnan+1-lnan≤ln[1+
1
n2(n+1)2
+
1
4n+1
]

由(1)知当p≥1时f(x)为减函数,取p=1,则f(x)=ln(1+x)-


x

当x>0时f(x)<f(0)=0,故ln(1+x)≤


x
(x>0),
lnan+1-lnan≤ln[1+
1
n2(n+1)2
+
1
4n+1
]<


1
n2(n+1)2
+
1
4n+1
1
n(n+1)
+
1
2n+1
=
1
n
-
1
n+1
+
1
2n+1

lna3-lna2
1
2
-
1
3
+
1
23
lna4-lna3
1
3
-
1
4
+
1
24
,….,lnan-lnan-1
1
n-1
-
1
n
+
1
2n

将这n-2个式子相加得lnan-lna2
1
2
-
1
n
+
1
4
(1-
1
2n-2
)<
3
4

an
a2
e
3
4
,将a2=4代入得an<4e
3
4

故当n≥2时,4≤an<4e
3
4
举一反三
已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-1)的定义域为(  )
A.(-1,1)B.(0,
1
2
C.(-1,0)D.(
1
2
,1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=log2(4x+b•2x+4),g(x)=x.
(1)当b=-5时,求f(x)的定义域;
(2)若f(x)>g(x)恒成立,求b的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=


1+x
+


1-x

(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设F(x)=
a
x
•[f2(x)-2]+f(x)(a为实数),求F(x)在a<0时的最大值g(a);
(3)对(2)中g(a),若-m2+2tm+


2
≤g(a)对a<0所有的实数a及t∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,2],则y的值域是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
二次函数y=x2-4x+3在区间(1,4]上的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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