定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),(I)令函数f(x)=F(3,log2(2x-x2+4)),写出函数f(x)的定义域;(II)令函数g(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞), (I)令函数f(x)=F(3,log2(2x-x2+4)),写出函数f(x)的定义域; (II)令函数g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围 (III)当x,y∈N*且x<y时,求证F(x,y)>F(y,x). |
答案
(I)log2(2x-x2+4)>0,即2x-x2+4>1得函数f(x)的定义域是(-1,3), (II)g(x)=F(1,log2(x2+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1, 设曲线C2在x0(-4<x<-1)处有斜率为-8的切线, 又由题设log2(x3+ax2+bx+1)>0,g"(x)=3x2+2ax+b, ∴存在实数b使得 | 3x02+2ax0+b=-8① | -4<x0<-1② | x03+ax02+bx0+1>1③ |
| | 有解, 由①得b=-8-3-2ax0,代入③得-2-ax0-8<0, ∴由有解, 得a<2(-x0)+,因为-4<x0<-1,所以2(-x0)+∈[8,10), 当a<10时,存在实数b,使得曲线C在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线. (III)令h(x)=,x≥1,由h′(x)=, 又令p(x)=-ln(1+x),x>0,∴p′(x)=-=<0, ∴p(x)在[0,+∞)单调递减.∴当x>0时有p(x)<p(0)=0,∴当x≥1时有h"(x)<0,∴h(x)在[1,+∞)单调递减, ∴1≤x<y时,有>,∴yln(1+x)>xln(1+y), ∴(1+x)y>(1+y)x ∴当x,y∈N*且x<y时,F(x,y)>F(y,x). |
举一反三
已知函数f(x)=b•ax(其中a,b为常量,a>0且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24) (1)求a、b的值 (2)若函数g(x)=在x∈(-∞,1]时有意义,求实数m的取值范围. |
函数y=的定义域是( )A.[-1,+∞) | B.{x|x≥-1,且x≠0} | C.(-1,+∞) | D.(-∞,-1) |
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函数f(x)=2x-x2(1<x<3)的值域是( )A.R | B.[-3,+∞) | C.[-3,1] | D.(-3,1) |
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