函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②或 ①f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[a,b],则,∴∴ ∴f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[0,2]; ②f(x)=ex(x∈R),若存在“倍值区间”[a,b],则,∴ 构建函数g(x)=ex-2x,∴g′(x)=ex-2, ∴函数在(-∞,ln2)上单调减,在(ln2,+∞)上单调增, ∴函数在x=ln2处取得极小值,且为最小值. ∵g(ln2)=2-2ln2>0,∴g(x)>0恒成立,∴ex-2x=0无解,故函数不存在“倍值区间”; ③f(x)=(x≥0),f′(x)== 若存在“倍值区间”[a,b]⊆[0,1],则,∴,∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1]; ④f(x)=loga(ax-)(a>0,a≠1).不妨设a>1,则函数在定义域内为单调增函数 若存在“倍值区间”[m,n],则,必有, 必有m,n是方程loga(ax-)=2x的两个根, 必有m,n是方程a2x-ax+=0的两个根, 由于a2x-ax+=0存在两个不等式的根,故存在“倍值区间”[m,n]; 综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④ 故选C. |