对于函数y=f(x)(x∈D)若同时满足下列两个条件,则称f(x)为D上的闭函数.①f(x)在D上为单调函数;②存在闭区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]
题型:解答题难度:一般来源:不详
对于函数y=f(x)(x∈D)若同时满足下列两个条件,则称f(x)为D上的闭函数. ①f(x)在D上为单调函数; ②存在闭区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b]. (1)求闭函数y=-x3符合上述条件的区间[a,b]; (2)若f(x)=x3-3x2-9x+4,判断f(x)是否为闭函数. |
答案
(1)∵y=-x3,∴y′=-3x2≤0. ∴函数y=-x3为减函数. 故即 ∴所求闭区间为[-1,1]. (2)f′(x)=3x2-6x-9. 由f′(x)≥0,得x≥3或x≤-1. 由f′(x)≤0,得-1≤x≤3. ∴f(x)在定义域内不是单调函数. 故f(x)不是闭函数. |
举一反三
对于定义域为D的函数f(x),若存在区间M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的“等值区间”.给出下列四个函数: ①f(x)=2x;②f(x)=x3;③f(x)=sinx;④f(x)=log2x+1. 则存在“等值区间”的函数的个数是( ) |
已知M(-3,0)﹑N(3,0),P为坐标平面上的动点,且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m(m≥-1,m≠0). (1)求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线? (2)若m=-,P点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为k1的直线ℓ1与曲线C交于不同的两点A﹑B,AB中点为R,直线OR(O为坐标原点)的斜率为k2,求证k1k2为定值; (3)在(2)的条件下,设=λ,且λ∈[2,3],求ℓ1在y轴上的截距的变化范围. |
函数f(x)定义域为C,若满足①f(x)在C内是单调函数;②存在[m,n]⊆D使f(x)在[m,n]上的值域为[,],那么就称y=f(x)为“希望函数”,若函数f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)是“希望函数”,则t取值范围为______. |
对于函数y=f(x),x∈D,若同时满足以下条件: ①函数f(x)是D上的单调函数; ②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b], 则称函数f(x)是闭函数. (1)判断函数f(x)=2x+,x∈[1,10];g(x)=-x3,x∈R是不是闭函数,并说明理由; (2)若函数f(x)=+k,x∈[-2,+∞)是闭函数,求实数k的取值范围. |
已知函数f(x)=x2,(x∈[-2,2]),g(x)=a2sin(2x+)+3a,x∈[0,],∀x1∈[-2,2],总∃x0∈[0,],使得g(x0)=f()成立,则实数a的取值范围是______. |
最新试题
热门考点