已知函数f(x)= 2 a+1 a-1 a2x ,常数a>0.(1)设m•n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;(2)设0<m<n且f(x)的定义域
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已知函数f(x)= 2 a+1 a-1 a2x ,常数a>0.(1)设m•n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;(2)设0<m<n且f(x)的定义域
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
2 a+1
a
-
1
a
2
x
,常数a>0.
(1)设m•n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;
(2)设0<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值.
答案
(1)任取x
1
,x
2
∈[m,n],且x
1
<x
2
,
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
1
a
2
•
x
1
-
x
2
x
1
x
2
,
因为x
1
<x
2
,x
1
,x
2
∈[m,n],所以x
1
x
2
>0,即f(x
1
)<f(x
2
),故f(x)在[m,n]上单调递增.
(2)因为f(x)在[m,n]上单调递增,f(x)的定义域、值域都是[m,n]⇔f(m)=m,f(n)=n,
即m,n是方程
2a+1
a
-
1
a
2
x
=x
的两个不等的正根⇔a
2
x
2
-(2a
2
+a)x+1=0有两个不等的正根.
所以△=(2a
2
+a)
2
-4a
2
>0,
2
a
2
+a
4a
2
>0⇒
a>
1
2
.
∴
n-m=
1
a
4
a
2
+4 a-3
=
-3
(
1
a
-
2
3
)
2
+
16
3
, a∈(
1
2
, +∞ )
,
∴
a=
3
2
时,n-m取最大值
4
3
3
.
举一反三
函数
y=
1
x
2
-3x-4
的定义域是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
(1)求函数f(x)=
x-1
-
1
x+1
的定义域.
(2)求值:2
3
3
1.5
6
12
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若f(x)=|x+1|-|x-1|,则f(x)值域为( )
A.R
B.[-2,2]
C.[-2,+∞)
D.[2,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数y=
2-x
lgx
的定义域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
对函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c作代换x=g(t),则总不会改变函数f(x)的值域的代换是( )
A.
g(t)=lo
g
1
3
t
B.g(t)=2
t
C.g(t)=sint
D.
g(t)=
1
x
3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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