已知函数f(x)= 2 a+1 a-1 a2x ,常数a>0.(1)设m•n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;(2)设0<m<n且f(x)的定义域

已知函数f(x)= 2 a+1 a-1 a2x ,常数a>0.(1)设m•n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;(2)设0<m<n且f(x)的定义域

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
 2 a+1 
a
-
1
 a2
,常数a>0.
(1)设m•n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;
(2)设0<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值.
答案
(1)任取x1,x2∈[m,n],且x1<x2f(x1)-f(x2)=
1
a2
x1-x2
x1x2

因为x1<x2,x1,x2∈[m,n],所以x1x2>0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在[m,n]上单调递增.
(2)因为f(x)在[m,n]上单调递增,f(x)的定义域、值域都是[m,n]⇔f(m)=m,f(n)=n,
即m,n是方程
2a+1
a
-
1
a2x
=x
的两个不等的正根⇔a2x2-(2a2+a)x+1=0有两个不等的正根.
所以△=(2a2+a)2-4a2>0,
2a2+a
4a2
>0⇒
a>
1
2

n-m= 
1
a


 4 a2+4 a-3 
=


 -3 
1
a
-
2
3
 )
2
+
16
3
 
 ,  a∈( 
1
2
 , +∞ )

a=
3
2
时,n-m取最大值
4


3
3
举一反三
函数y=
1


x2-3x-4
的定义域是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
(1)求函数f(x)=


x-1
-
1
x+1
的定义域.
(2)求值:2


3
31.5

612

题型:解答题难度:一般| 查看答案
若f(x)=|x+1|-|x-1|,则f(x)值域为(  )
A.RB.[-2,2]C.[-2,+∞)D.[2,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=


2-x
lgx
的定义域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
对函数f(x)=x3+ax2+bx+c作代换x=g(t),则总不会改变函数f(x)的值域的代换是(  )
A.g(t)=log
1
3
t
B.g(t)=2tC.g(t)=sintD.g(t)=
1
x3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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