(1)已知:f(x)=4x2-12x-32x+1,x∈[0,1],求函数f(x)的单调区间和值域;(2)a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1

(1)已知:f(x)=4x2-12x-32x+1,x∈[0,1],求函数f(x)的单调区间和值域;(2)a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1

题型:解答题难度:一般来源:虹口区一模
(1)已知:f(x)=
4x2-12x-3
2x+1
,x∈[0,1]
,求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],判断函数g(x)的单调性并予以证明;
(3)当a≥1时,上述(1)、(2)小题中的函数f(x)、g(x),若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范围.
答案
(1)y=f(x)=2x+1+
4
2x+1
-8
,设t=2x+1,1≤t≤3
y=t+
4
t
-8,t∈[1,3].

任取t1、t2∈[1,3],且t1<t2f(t1)-f(t2)=
(t1-t2)(t1t2-4)
t1t2

1≤t≤2,即0≤x≤
1
2
时,f(x)单调递减;
2<t≤3,即
1
2
<x≤1
时,f(x)单调递增.
f(0)=-3,f(
1
2
)=-4,f(1)=-
11
3
,得f(x)的值域为[-4,-3].
(2)设x1、x2∈[0,1],且x1<x2
则g(x1)-g(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3a2)>0,
所以g(x)单调递减.
(3)由g(x)的值域为:1-3a2-2a=g(1)≤g(x)≤g(0)=-2a,
所以满足题设仅需:1-3a2-2a≤-4≤-3≤-2a,
解得,1≤a≤
3
2
举一反三
2012年,商品价格一度成为社会热点话题,某种新产品投放市场的100天中,前40天价格呈直线上升,由于政府及时采取有效措施,从而使后60天的价格呈直线下降,现统计出其中4天的价格如下表
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时间第4天第32天第60天第90天
价格(元)2330227
已知函数f(x)=4x+a•2x+1+4
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有两个大于0的实根,求a的取值范围;
(3)当x∈[1,2]时,求函数f(x)的最小值.
已知函数f(x)由下表给出,则满足f[f(x)]>2的x的值是______.
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x123
f(x)231
已知函数y=-2x2+3,x∈{-2,-1,0,1,2},则它的值域为 ______.
若函数y=f(2x-1)的定义域为[1,2],则函数f(2x+1)定义域为(  )
A.[0,
1
2
]
B.[1,2]C.[0,1]D.[1,3]