已知函数f(x)=ax+1-2(a>0,且a≠1)设f-1(x)是f(x)的反函数.(I)若y=f-1(x)在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数,求a的值;
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax+1-2(a>0,且a≠1)设f-1(x)是f(x)的反函数. (I)若y=f-1(x)在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数,求a的值; (Ⅱ)若y=f-1(x)的图象不经过第二象限,求a的取值范围. |
答案
(I)因为ax+1>0, 所以f(x)的值域是{y|y>-2}.(2分) 设y=ax+1-2,解得x=loga(y+2)-1. 当a>1时,f-1(x)=loga(x+2)-1为(-2,+∞)上的增函数,(6分) 所以f-1(0)+f"(1)=0即(loga2-1)+(loga3-1)=0 解得a=.(4分) (II)由(I)得f(x)的反函数为f-1(x)=loga(x+2)-1,(x>-2),它的图象不过第二象限, 当a>1时,函数f-1(x)是(-2,+∞)上的增函数,且经过定点(-1,-1). 所以f-1(x)的图象不经过第二象限的充要条件是f-1(x)的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上.(11分) 令loga(x+2)-1=0,解得x=a-2, 由a-2≥0,解得a≥2.(13分) |
举一反三
已知f(x)=. (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断并用定义证明函数f(x)的单调性; (3)求函数f(x)的反函数f-1(x); (4)若对任意满足x1+x2=m的正实数x1、x2,不等式f-1(x1)f-1(x2)>f-1(m)恒成立.求m的取值范围. |
(1)若函数y=f(x)的定义域为[-2,2],求函数y=f(x+1)+f(x-1)的定义域. (2)求值:(lg2)2+log1008+lg5•lg20+lg25. |
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