已知函数f（x）=3x-2-x3x+2-x．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅲ）写出f（x）的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

3x-2-x

3x+2-x

．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的值域．

答案

（Ⅰ）由题意可得：x∈R，所以定义域关于原点对称．
又因为 f（x）=

3x-2-x

3x+2-x

=

2x•3x-1

2x•3x+1

=

6x-1

6x+1

所以f（-x）=

6-x-1

6-x+1

=

1-6x

1+6x

=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）=

6x-1

6x+1

=

(6x+1)-2

6x+1

=1-

2

6x+1

，在R上是增函数，
证明如下：任意取x₁，x₂，并且x₁＞x₂∴6x1＞6x2＞0
则 f（x₁）-f（x₂）=

2

6x2+1

-

2

6x1+1

=

2(6x1-6x2)

(6x1+1)( 6x2+1)

＞0
所以f（x₁）＞f（x₂），则f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜

2

6x+1

＜2
∴f（x）=1-

2

6x+1

∈（-1，1），
所以f（x）的值域为（-1，1）．