已知函数f（x）=kx-1x，且f（1）=1．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）单调性．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=kx-

1

x

，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）单调性．

答案

（1）由f（1）=1得k-1=1，k=2．
定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）为增函数．
在（0，+∞）任取两数x₁，x₂．设x₂＞x₁＞0，
则f（x₂）-f（x₁）=（2x₂-

1

x2

）-（2x₁-

1

x1

）=（x₂-x₁）（2+

1

x1x2

）
因为x₂＞x₁＞0，所以x₂-x₁＞0，2+

1

x1x2

＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）为增函数．