已知a＞0，且a≠1，f（ax）=x-x．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的单调区间．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知a＞0，且a≠1，f（a^x）=x-

x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调区间．

答案

（1）设t=a^x，则x=log_at，t＞0
所以f(t)=log⁡at-

log⁡at

，所以f(x)=log⁡ax-

logax

，要使函数有意义则
log_ax≥0，若a＞1，则x≥1．若0＜a＜1，则0＜x＜1．
所以若a＞1，函数的定义域为[1，+∞）．若0＜a＜1，函数的定义域为（0，1）
（2）由（1）知f(x)=log⁡ax-

logax

，令u=

logax

≥0，则y=f（u）=u²-u，
①当a＞1时，f（u）在u∈[0，

1

2

)单调递减，在u∈[

1

2

，+∞)单调递增．
而u=

logax

≥0，在[1，+∞）恒为单调递增．
所以原函数f（x）在[1，a

1

4

）上单调递减，在[a

1

4

，+∞）单调递增．
②当0＜a＜1时，同理可得，原函数f（x）在（a

1

4

，1）单调递增．
在（0，a

1

4

）单调递增．