已知函数 f(x)=1x-log21+x1-x,(Ⅰ)求f(x)的定义域;(Ⅱ)判断并证明f(x)的奇偶性;(Ⅲ)在(0,1)内,求使关系式f(x)>f(13)

已知函数 f(x)=1x-log21+x1-x,(Ⅰ)求f(x)的定义域;(Ⅱ)判断并证明f(x)的奇偶性;(Ⅲ)在(0,1)内,求使关系式f(x)>f(13)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数 f(x)=
1
x
-log2
1+x
1-x

(Ⅰ)求f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断并证明f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)在(0,1)内,求使关系式f(x)>f(
1
3
)
成立的实数x的取值范围.
答案
(Ⅰ)函数f(x)有意义,需





x≠0
1+x
1-x
>0

解得-1<x<1且x≠0,
∴函数定义域为x|-1<x<0或0<x<1;
(Ⅱ)函数f(x)为奇函数,
∵f(-x)=f(-x)=-
1
x
-log2
1-x
1+x
=-
1
x
+log2
1+x
1-x
=-f(x)

又由(1)已知f(x)的定义域关于原点对称,
∴f(x)为奇函数;
(Ⅲ)设0<x1<x2<1,∵
1
x1
-
1
x2
=
x2-x1
x1x2

又x1x2>0,x2-x1>0,∴
1
x1
-
1
x2
>0

1+x1
1-x1
-
1+x2
1-x2
=
2(x1-x2)
(1-x1)(1-x2)
,∵1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,
0<
1+x1
1-x1
1+x2
1-x2

log2
1+x1
1-x1
<log2
1+x2
1-x2
.②
由①②,得f(x1)-f(x2)=(
1
x1
-
1
x2
)+(log2
1+x2
1-x2
-log2
1+x1
1-x1
)>0

∴f(x)在(0,1)内为减函数;
f(x)>f(
1
3
)
,∴使f(x)>f(
1
3
)
成立x的范围是0<x<
1
3
举一反三
若函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(x)的定义域是(  )
A.[-1,4]B.[-3,2]C.[1,5]D.无法确定
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=


cos(2x-
π
3
)
的定义域是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数y=
log2(3x+1)


8-2x
的定义域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=


|x|-1
+
1
2-x
的定义域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
3x2


1-x
+


lg(3x+1)
的定义域是(  )
A.(-
1
3
,+∞)
B.(-
1
3
,1)
C.(-
1
3
1
3
)
D.[0,1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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