直线l：x-ky+22=0与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为原点，△ABO的面积为S．（1）试将S表示为k的函数S（k），并求定义域；（2）求S的最大

题型：解答题难度：一般来源：不详

直线l：x-ky+2

2

=0与圆O：x²+y²=4相交于A，B两点，O为原点，△ABO的面积为S．
（1）试将S表示为k的函数S（k），并求定义域；
（2）求S的最大值，并求此时直线l的方程．

答案

（1）圆心O到直线l的距离d=

2 2

1+k2

，
∵l与圆O相交，
∴d＜2，
∴k＞1或k＜-1．
∴s(k)=

1

2

×2

4-d2

•d=

4- 8 1+k2

•

2 2

1+k2

=4

2

k2-1 (1+k2)2

（k＞1或k＜-1）．
（2）s(k)=4

2

-2 (1+k2)2 + 1 1+k2

=4

2

-2( 1 1+k2 - 1 4 )2+ 1 8

≤2，
∴k=±

3

时，有s（k）_max=2．
故，直线l的方程为：x-

3

y+2

2

=0或x+

3

y+2

2

=0．