已知f(x)=10x-10-x10x+10-x．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明f（x）是定义域内的增函数；（3）求f（x）的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=

10x-10-x

10x+10-x

．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明f（x）是定义域内的增函数；
（3）求f（x）的值域．

答案

（1）∵f（-x）=

10-x-10x

10-x+10x

=-f（x），∴f（x）为奇函数
（2）f(x)=

102x-1

102x+1

=1-

2

102x+1

在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＞x₂
∴f(x1)-f(x2)=

2

102x2+1

-

2

102x1+1

=

102x1-102x2

(102x1+1)(102x2+1)

而y=10^x在R上为增函数，∴102x1＞102x2，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上为增函数．
（3）102x=

1+y

1-y

，而10^2x＞0，即

1+y

1-y

＞0，∴-1＜y＜1．
所以f（x）的值域是（-1，1）．