设函数f(x)=ax-1x+1,其中a∈R.(1)若a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值;(2)若f(x)的定义域为区间(0,+

设函数f(x)=ax-1x+1,其中a∈R.(1)若a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值;(2)若f(x)的定义域为区间(0,+

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=
ax-1
x+1
,其中a∈R.
(1)若a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)的定义域为区间(0,+∞),求a的取值范围,使f(x)在定义域内是单调减函数.
答案
f(x)=
ax-1
x+1
=
a(x+1)-a-1
x+1
=a-
a+1
x+1

设x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)=
a+1
x2+1
-
a+1
x1+1

=
(a+1)(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)

(1)当a=1时,f(x)=1-
2
x+1
,设0≤x1<x2≤3,
则f(x1)-f(x2)=
2(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)

又x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[0,3]上是增函数,
∴f(x)max=f(3)=1-
2
4
=
1
2
,f(x)min=f(0)=1-
2
1
=-1.
(2)设x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0.
若使f(x)在(0,+∞)上是减函数,只要f(x1)-f(x2)<0,而f(x1)-f(x2)=
(a+1)(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)

∴当a+1<0,即a<-1时,有f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2).
∴当a<-1时,f(x)在定义域(0,+∞)内是单调减函数.
举一反三
函数f(x)=
8x
x2+2
(x>0)
(  )
A.当x=2时,取得最小值
8
3
B.当x=2时,取得最大值
8
3
C.当x=


2
时,取得最小值2


2
D.当x=


2
时,取得最大值2


2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则函数y=
f(2x-1)


x-1
的定义域为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=


|x-2|-1
log2(x-1)
的定义域为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
若函数f(x)=x2+1的定义域为{-1,0,1},则它的值域为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ex•g(x),其中g(x)=ax2-2x-2.
(1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;
(2)求函数y=f(|sinx|)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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