已知函数f(x)=ex•g(x),其中g(x)=ax2-2x-2.(1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;(2)求函数y=f(|sinx|
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ex•g(x),其中g(x)=ax2-2x-2. (1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围; (2)求函数y=f(|sinx|)的值域. |
答案
(1)存在x∈R,使得g(x)>0, 即存在x∈R,使得ax2-2x-2>0, 当a>0时,满足要求;当a=0时,满足要求; 当a<0时,△>0,解得-<a<0 综上得,a>-(4分) (2)f(x)=ex•g(x)=ex•(ax2-2x-2) ∴f′(x)=(ex)′•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)′ =ex•(ax2-2x-2)+ex•(2ax-2) =ex•[ax2+(2a-2)x-4] 设|sinx|=t,(0≤t≤1),则转化为求函数y=f(t),(0≤t≤1)的值域. 当a=0时,f′(x)=-2ex•(x+2)<0,此时函数f(t)在[0,1]上为减函数, ∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2] 当a<0时,f′(x)=ex•[ax2+(2a-2)x-4]=a•ex•(x-)(x+2)<0 此时函数f(t)在[0,1]上为减函数, ∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2](6分) 当a>0时,f′(x)=ex•[ax2+(2a-2)x-4]=a•ex•(x-)(x+2) 令f′(x)=0,解得x=或x=-2(舍). 当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
若≥1,即0<a≤2时,函数f(t)在[0,1]上为减函数. ∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2] 若0<<1,即a>2时,函数f(t)在(0,)上递减,在(,1)上递增 ∴ymin=f()=-2e函数f(t)在[0,1]上的最大值为f(0)与f(1)中的较大者 ∵f(0)=-2,f(1)=(a-4)e,∴f(1)-f(0)=(a-4)e+2 ∴当a>4-时,f(1)>f(0),此时ymax=f(1)=(a-4)e; 当a=4-时,f(1)=f(0),此时ymax=f(0)=f(1)=-2; 当2<a<4-时,f(1)<f(0),此时ymax=f(0)=-2(13分) 综上,当a≤2时,函数f(|sinx|)的值域为[(a-4)e,-2]; 当2<a≤4-时,函数f(|sinx|)的值域为[-2e,-2]; 当a>4-时,函数f(|sinx|)的值域为[-2e,(a-4)e].(14分) |
举一反三
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x+x2. (1)求x<0时,f(x)的解析式; (2)问是否存在这样的非负数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[4a-2,6b-6]?若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由. |
函数y=的定义域是( )A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) | B.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) | C.[2kπ+,2kπ+](k∈Z) | D.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) |
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已知f(x)=lnx-. (Ⅰ)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (Ⅱ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,试求a的取值范围; (Ⅲ)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值. |
已知函数f(x)的定义域为[-1,1],且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在,则实数m的取值范围是______. |
函数y=f(x)的定义域为[0,3],则g(x)=的定义域是( )A.0<x<3 | B.0≤x≤1 | C.0≤x<1 | D.0≤x≤3 |
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