已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x+x2.(1)求x<0时,f(x)的解析式;(2)问是否存在这样的非负数a,b,当x∈[a,b]时
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x+x2. (1)求x<0时,f(x)的解析式; (2)问是否存在这样的非负数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[4a-2,6b-6]?若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-x+x2, 又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x+x2, 即x<0时,f(x)=x-x2.…(4分) (2)假设存在这样的数a,b. ∵a≥0,且f(x)=x+x2在x≥0时为增函数,…(6分) ∴x∈[a,b]时,f(x)∈[f(a),f(b)]=[4a-2,6b-6], ∴ | 6b-6=f(b)=b2+b | 4a-2=f(a)=a2+a |
| | …(8分) ⇒⇒,即或…(10分) 或或,考虑到0≤a<b,且4a-2<6b-6,…(12分) 可得符合条件的a,b值分别为或或…(14分) |
举一反三
函数y=的定义域是( )A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) | B.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) | C.[2kπ+,2kπ+](k∈Z) | D.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) |
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已知f(x)=lnx-. (Ⅰ)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (Ⅱ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,试求a的取值范围; (Ⅲ)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值. |
已知函数f(x)的定义域为[-1,1],且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在,则实数m的取值范围是______. |
函数y=f(x)的定义域为[0,3],则g(x)=的定义域是( )A.0<x<3 | B.0≤x≤1 | C.0≤x<1 | D.0≤x≤3 |
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下列各组函数中,奇偶性相同,值域也相同的一组是( )A.f(x)=cosx+,g(x)=x+ | B.f(x)=sinx+,g(x)=x+ | C.f(x)=cos2x+,g(x)=x2 -, | D.f(x)=sin2x+,g(x)=x2-, |
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