(I)已知函数定义域为(0,+∝), 又有a>0,则y2=-是增函数, y1=lnx与y2=-都是增函数, 故f(x)=lnx-在定义域上是增函数. (Ⅱ)由已知f(x)<x2,即f(x)=lnx-<x2,在(1,+∞)上恒成立, 即a>xlnx-x3在(1,+∞)上恒成立 令g(x)=xlnx-x3,则g′(x)=lnx-3x2+1, 又[g′(x)]"=-6x<0,在(1,+∞)上恒成立, 所以g′(x)在(1,+∞)上为减函数,故g′(x)<g′(1)<0, 因此g(x)在(1,+∞)为减函数, 故a≥g(1),即a≥-1.(5分) (III)分三种情况讨论, (1)令f′(x)≥0,在[1,e]上恒成立,x+a≥0,即a≥-x, 则a≥-1时.此时f(x)在[1,e]上为增函数. f(x)min=f(1)=-a=, 得a=-,(舍去) (2)令f′(x)≤0,在[1,e]上恒成立,有x+a≤0,即a≤-x, 则a≤-e时.此时f(x)在[1,e]上为减函数. 则f(x)min=f(e)=1-=, 得a=-(舍去), (3)当-e<x<-1时,令f′(x)=0,得x0=-a, 当1<x<x0时,f′(x)<0,f(x)在(1,x0)上为减函数, 当x0<x<e时,f′(x)>0,f(x)在(x0,e)上为增函数, f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=, 解可得a=-, 综上可得,a=-.(6分). |