（1）证明函数 f（x）=x+4x 在x∈[2，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[4，8]上的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）证明函数 f（x）=x+

4

x

 在x∈[2，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[4，8]上的值域．

答案

证明：（1）设2＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=x₁-x₂+

4(x2-x1)

x1•x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
∵2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4即0＜

4

x1x2

＜1，
∴1-

4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是增函数；
（2）由（1）知f（x）在[4，8]上是增函数，
f（x）_max=f（8）=

17

2

；
f（x）_min=f（4）=5，
∴f（x）的值域为：[5，

17

2

]；