已知函数f(x)=1x2-1．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

1

x2-1

．
（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．

答案

（1）由x²-1≠0，得x≠±1，
所以，函数f(x)=

1

x2-1

的定义域为x∈R|x≠±1（4分）
（2）函数f(x)=

1

x2-1

在（1，+∞）上单调递减．（6分）
证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），设x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，△y=y2-y1=

1

x 22 -1

-

1

x 21 -1

=

(x1-x2)(x1+x2)

( x 21 -1)( x 22 -1)

（8分）
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁²-1＞0，x₂²-1＞0，x₁+x₂＞0．
又x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，故△y＜0．
因此，函数f(x)=

1

x2-1

在（1，+∞）上单调递减．（12分）