函数f（x）=ln（1+2x+a•4x）的定义域为（-∞，1]，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）=ln（1+2^x+a•4^x）的定义域为（-∞，1]，求实数a的取值范围．

答案

f（x）=ln（1+2^x+a•4^x）的定义域为（-∞，1]，则x≤1时函数
g（x）=1+2^x+a•4^x＞0恒成立，所以a＞-(

1

4

)x-(

1

2

)x；
函数y=-(

1

4

)x-(

1

2

)x=-[(

1

2

)x+

1

2

]2+

1

4

，设t=(

1

2

)x，则t≥

1

2

，此时函数y=-(t+

1

2

)2+

1

4

在t≥

1

2

，上单调递减，
所以y≤-(

1

2

+

1

2

)2+

1

4

=-

3

4

，此时x=1．
所以a＞-

3

4

．
实数a的取值范围(-

3

4

，+∞)．