已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x,x∈[2,4](1)求f(x),g(x)函数的值域;(2)函数H(x)=f(x-c)+g(x+c)定义域为[
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x,x∈[2,4] (1)求f(x),g(x)函数的值域; (2)函数H(x)=f(x-c)+g(x+c)定义域为[8,10],求c. (3)函数H(x)=f(x-c)+g(x+c)(c≤0)的最大值为32,求c的值. |
答案
解(1)因为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,函数f(x)的定义域为R,所以f(x)≥-1, 即函数f(x)的值域[-1,+∞). 因为g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,且x∈[2,4],所以g(x)的最大值为g(4)=8,最小值为g(2)=0, 所以g(x)的值域[0,8]..…..(4分) (2)因为g(x),x∈[2,4],所以要使H(x)由意义,设H(x)定义域M, 由题意得 M={x|2≤x+c≤4},即M={x|2-c≤x≤4-c},所以有2-c=8,所以c=-6.(4分)
| (3)H(x)=f(x-c)+g(x+c) | =(x-c)2-2(x-c)+(x+c)2-2(x+c) | =2x2-4x+2c2, |
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由(2)知,当c≤0时,函数的定义域为[2-c,4-c], 因为 c≤0,所以函数在[2-c,4-c]上单调递增, 由已知函数H(x)=f(x-c)+g(x+c)的最大值32,所以H(4-c)=24, 有c2-3c-4=0,解得c=4或c=1.舍去c=4,所以c=1….(4分) |
举一反三
在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“⊕”:当 a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,函数f(x)=(1⊕x)•x(其中“•”仍为通常的乘法),则函数f(x)在[0,2]上的值域为( )A.[0,4] | B.[1,4] | C.[0,8] | D.[1,8] |
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已知f(x+1)的定义域为[-2,3],则f(x)的定义域是______. |
函数f(x)=+lg(4-x)的定义域是______. |
函数y=的定义域为( )A.(,1) | B.(,∞) | C.(1,+∞) | D.(,1)∪(1,+∞) |
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