已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R,都有f (-x) = f (2+x)成立,设向量= ( sinx,2 ) ,= (2sinx , ),= (
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已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R,都有f (-x) = f (2+x)成立,设向量= ( sinx,2 ) ,= (2sinx , ),= (
题型:解答题
难度:一般
来源:江苏省模拟题
已知二次函数f (x)=x
2
+mx+n对任意x∈R,都有f (-x) = f (2+x)成立,设向量
= ( sinx,2 ) ,
= (2sinx , ),
= ( cos2x , 1 ),
=(1,2),
(Ⅰ)求函数f (x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[0,π]时,求不等式f (
·
)>f (
·
)的解集.
答案
解;(1)设f(x)图象上的两点为A(-x,y
1
)、B(2+x, y
2
),
因为
=1, f (-x) = f (2+x),所以y
1
= y
2
由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴x≥1时,f(x)是增函数 ;x≤1时,f(x)是减函数。
(2)∵
=(sinx,2)·(2sinx,
)=2sin2x+1≥1,
=(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1,
∵f(x)在是[1,+∞)上为增函数,
∴
f(2sin2x+1)>f(cos2x+2)
2sin2x+1>cos2x+2
1-cos2x+1>cos2x+2
cos2x<0
2kπ+
<2x<2kπ+
,k∈z
kπ+
<x<kπ+
,k∈z
∵0≤x≤π ,
∴
<x<
综上所述,不等式f (a(→)·b(→))>f (c(→)·d(→))的解集是:{ x|
<x<
}
举一反三
若函数
,则f(x)的定义域是( )
题型:填空题
难度:一般
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函数
的定义域是( )
题型:填空题
难度:一般
|
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函数
的定义域是( )
题型:填空题
难度:简单
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函数
y
=
的定义域为( )
题型:填空题
难度:一般
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选做题
已知函数
.
(Ⅰ)当a=7时,求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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