试题分析:(Ⅰ)由题意先对时的函数进行求导,易得,解得;(Ⅱ)因为函数为分段函数,要求在区间上的最大值,需分别求区间和上的最大值,当时,应对函数进行求导,求函数的单调性,从而求区间上的最大值;当时,应对函数分两种情况讨论,可得结论;(Ⅲ)根据条件可知的横坐标互为相反数,不妨设,其中,若,则,由是直角,得,即,方程无解;若,则由于中的中点在轴上,且,所以点不可能在轴上,即同理有,,得的范围是. 试题解析:(I)当时, 因为函数图象在点处的切线方程为, 所以切点坐标为且解得. 4分 (II)由(I)得,当时,令, 可得或在和上单调递减,在上单调递增,所以在上的最大值为,当时,, 当时,恒成立此时在[-1,2]上的最大值为; 当时在[1,2]上单调递增,且, 令则, 所以当时在[-1,2]上的最大值为, 当时在[-1,2]上的最大值为, 综上可知,当时在[-1,2]上的最大值为2, 时当时在[-1,2]上的最大值为. 9分 (III)根据条件可知的横坐标互为相反数, 不妨设,其中, 若,则,由是直角,得,即, 即此方程无解; 若,则由于中的中点在轴上,且,所以点不可能在轴上, 即同理有,, 令由于函数的值域是 所以实数的取值范围是 14分 |