(本小题满分13分)已知是定义在[-1,1]上的奇函数,且,若任意的,当 时,总有.(1)判断函数在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;(2)解不等式:;(
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(本小题满分13分)已知是定义在[-1,1]上的奇函数,且,若任意的,当 时,总有.(1)判断函数在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;(2)解不等式:;(
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(本小题满分13分)
已知
是定义在[-1,1]上的奇函数,且
,若任意的
,当
时,总有
.
(1)判断函数
在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)解不等式:
;
(3)若
对所有的
恒成立,其中
(
是常数),试用常数
表示实数
的取值范围.
答案
(1)
在
上是增函数,证明如下:
任取
,且
,则
,于是有
,而
,故
,故
在
上是增函数
(2)
.
(3)由(1)知
最大值为
,所以要使
对所有的
恒成立,只需
成立,即
成立.
①当
时,
的取值范围为
;
②当
时,
的取值范围为
;
③当
时,
的取值范围为R.
解析
(1)
在
上是增函数,证明如下:
任取
,且
,则
,于是有
,而
,故
,故
在
上是增函数
(2)由
在
上是增函数知:
,
故不等式的解集为
.
(3)由(1)知
最大值为
,所以要使
对所有的
恒成立,只需
成立,即
成立.
①当
时,
的取值范围为
;
②当
时,
的取值范围为
;
③当
时,
的取值范围为R.
举一反三
定义在
上的奇函数
,当
时,
,则方程
的所有解之和为
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
,在(-∞,+∞)上单调递减,则实数
a
的取值范围是
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
定义在R上的单调递减函数
满足
,且对于任意
,
不等式
恒成立,则当
时,
的取值范围为
;
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若
f
(
x
)是偶函数,且当
x
∈
时,
f
(
x
) =
x
-1,则
f
(
x
-1) < 0的解集是( )
A.{
x
|-1 <
x
< 0}
B.{
x
|
x
< 0或1<
x
< 2}
C.{
x
| 0 <
x
< 2}
D.{
x
| 1 <
x
< 2}
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
是偶函数,并且对于定义域内任意的
,满足
,
若当
时,
,则
=__________
______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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