已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证:f(x)是周期函数. (2)已知f(3)=2,求f(2
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已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证:f(x)是周期函数. (2)已知f(3)=2,求f(2
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x
R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(1)求证:f(x)是周期函数.
(2)已知f(3)=2,求f(2 004).
答案
(1)证明见解析(2)-2
解析
(1)证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
则f(x+2)=f
∴f(x+3)=f
∴f(x+6)=f
∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
(2)解 f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.
举一反三
设
对
有意义,
,且
成立的充要条件是
.
(1)求
与
的值;
(2)当
时,求
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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若
,则
____
题型:填空题
难度:简单
|
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函数
的定义域为R,并满足以下条件:①对任意
,有
;
②对任意
、
,有
;③
则
(1)求
的值; (4分)
(2)求证:
在R上是单调增函数; (5分)
(3)若
,求证:
题型:解答题
难度:一般
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设函数
的定义域是R,对于任意实数
,恒有
,且当
时,
.
(Ⅰ)求证:
,且当
时,有
;
(Ⅱ)判断
在R上的单调性;
(Ⅲ)设集合
,集合
,若
,求
的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
满足
;
(1)求常数k的值;(2)若
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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