设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1;(2)求证:当x∈R时

设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1;(2)求证:当x∈R时

题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.
答案
证明:(1)∵m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),
令m=0
则f(n)=f(0)•f(n),
则f(0)=1
(2)由(1)中结论可得:
令m=-n
则f(0)=f(-n)•f(n)=1,
∴f(x)与f(-x)互为倒数,
∵当x>0时,0<f(x)<1,
∴当x<0时,f(x)>1,
又由x=0时,f(0)=1
故当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)设x1>x2
∴f(x1)=f(x2+(x1-x2))=f(x2)•f(x1-x2
由(2)知当x∈R时,恒有f(x)>0,
所以
f(x1)
f(x2)
=f(x1-x2)<1
所以f(x1)<f(x2
∴f(x)在R上是减函数
举一反三
f(x)=





x+2(x≤-1)
x2(-1<x<2)
3x(x≥2)
,若f(m)=3,求m的值.
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已知f(x)是定义在R数,且f(1)=1,对任意的x∈R式成立:f(x+5)≥f(x)+5;f(x+1)≤f(x)+1,若g(x)=f(x)+1-x,则g(6)=______.
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f(x)=





lgx             x>0
x+
0a
3t2dt    x≤0
,若f(f(1))=1,则a=______.
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已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,有f(2)=1,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足当x>1时,f(x)>0成立.
(1)求f(1)、f(4)的值;    
(2)求满足f(x)+f(x-3)>2的x的取值范围.
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在两个实数间定义一种运算“#”,规定a#b=





1(a<b)
-1(a≥b)
,则方程|
1
x
-2|#2=1
的解集是______.
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