已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,有f(2)=1,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足当x>1时,f(x)>0成
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,有f(2)=1,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足当x>1时,f(x)>0成立. (1)求f(1)、f(4)的值; (2)求满足f(x)+f(x-3)>2的x的取值范围. |
答案
(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0. 令x=y=2,则f(2×2)=f(2)+f(2),∴f(4)=2f(2)=2×1=2. (2)下面先证明函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数. 证明:任取x1,x2满足0<x1<x2,则>1,由已知得f()>0. ∴f(x2)=f(×x1)=f()+f(x1)>f(x1),即f(x2)>f(x1), ∴函数f(x)在区间(0,+∞)是单调递增. ∵f(x)+f(x-3)=f(x2-3x)>2=f(4),∴x2-3x>4,解得x>4,或x<-1, 而已知x>0,∴x<-1应舍去, 故x的取值范围是x>4. |
举一反三
在两个实数间定义一种运算“#”,规定a#b=,则方程|-2|#2=1的解集是______. |
某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为60元,为了鼓励更多销售商订购,该厂决定当一次订购超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不低于51元. (1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为51元? (2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为p元,写出函数p=f(x)的表达式. |
已知函数f(x)=10x,对于实数m、n、p有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),则p的最大值等于______. |
函数f(x)=,下列结论不正确的( )A.此函数为偶函数 | B.此函数是周期函数 | C.此函数既有最大值也有最小值 | D.方程f[f(x)]=1的解为x=1 |
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设x,y∈R,且满足 | (x-2)3+2(x-2)+sin(x-2)=-3 | (y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=3 |
| | ,则x+y=( ) |
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