已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,有f(2)=1,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足当x>1时,f(x)>0成

已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,有f(2)=1,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足当x>1时,f(x)>0成

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,有f(2)=1,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足当x>1时,f(x)>0成立.
(1)求f(1)、f(4)的值;    
(2)求满足f(x)+f(x-3)>2的x的取值范围.
答案
(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.
令x=y=2,则f(2×2)=f(2)+f(2),∴f(4)=2f(2)=2×1=2.
(2)下面先证明函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
证明:任取x1,x2满足0<x1<x2,则
x2
x1
>1
,由已知得f(
x2
x1
)>0

∴f(x2)=f(
x2
x1
×x1)
=f(
x2
x1
)
+f(x1)>f(x1),即f(x2)>f(x1),
∴函数f(x)在区间(0,+∞)是单调递增.
∵f(x)+f(x-3)=f(x2-3x)>2=f(4),∴x2-3x>4,解得x>4,或x<-1,
而已知x>0,∴x<-1应舍去,
故x的取值范围是x>4.
举一反三
在两个实数间定义一种运算“#”,规定a#b=





1(a<b)
-1(a≥b)
,则方程|
1
x
-2|#2=1
的解集是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为60元,为了鼓励更多销售商订购,该厂决定当一次订购超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不低于51元.
(1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为p元,写出函数p=f(x)的表达式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=10x,对于实数m、n、p有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),则p的最大值等于______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=





1,x为有理数
π,x为无理数
,下列结论不正确的(  )
A.此函数为偶函数
B.此函数是周期函数
C.此函数既有最大值也有最小值
D.方程f[f(x)]=1的解为x=1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设x,y∈R,且满足





(x-2)3+2(x-2)+sin(x-2)=-3
(y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=3
,则x+y=(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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