设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2),对任何x和y,f(x+y)=f(x)•f(y)成立.求:(1)f(
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设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2),对任何x和y,f(x+y)=f(x)•f(y)成立.求:(1)f(0); (2)对任意值x,判断f(x)值的正负. |
答案
(1)∵对任何x和y,f(x+y)=f(x)•f(y) 令y=0 则f(x)=f(x)•f(0) 又∵存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2), 即函数不为常数函数,即f(x)=0不成立 ∴f(0)=1. (2)令y=x≠0, 则f(2x)=f(x)•f(x)=f2(x)≥0 又由(1)中f(x)≠0, ∴f(2x)>0,即f(x)>0, 故对任意x,f(x)>0恒成立. |
举一反三
函数f(x)的定义域为D={x|x>0},满足:对于任意m,n∈D,都有f(mn)=f(m)+f(n),且f(2)=1. (1)求f(4)的值;(2)如果f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求x的取值范围. |
(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x); (2)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x). |
若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P. (Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由. ①y=ax(a>1); ②y=x3. (Ⅱ)若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*), 求证:对任意i∈{1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0.若成立给出证明,若不成立给出反例. |
定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点.如y=x4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x2+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是______. |
设函数f是定义在正整数有序对集合上的函数,并满足:①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(y.x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则f(12,16)+f(16,12)的值是( ) |
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