设函数f是定义在正整数有序对集合上的函数,并满足:①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(y.x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则f(12,16
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设函数f是定义在正整数有序对集合上的函数,并满足:①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(y.x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则f(12,16
题型:单选题
难度:一般
来源:不详
设函数f是定义在正整数有序对集合上的函数,并满足:①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(y.x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则f(12,16)+f(16,12)的值是( )
A.96
B.64
C.48
D.24
答案
∵(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),
∴f(x,x+y)=
x+y
y
f(x,y),
因此,f(12,16)=f(12,12+4)=
12+4
4
f(12,12)=4f(12,12)
∵f(x,x)=x,∴f(12,12)=12
因此,f(12,16)=4f(12,12)=4×12=48
∵f(x,y)=f(y,x)
∴f(16,12)=f(12,16)=48,可得f(12,16)+f(16,12)=48+48=96
故选:A
举一反三
已知函数f(x)满足:对任意正数x
1
<x
2
,有f(x
1
)>f(x
2
),且f(x
1
•x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
).请写出一个满足条件的函数,则这个函数可以写为f(x)=______(注:只需写出一个函数即可).
题型:填空题
难度:一般
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设函数f(x)的定义域为R,且对x,y∈R,恒有f(xy)=f(x)+f(y),若f(8)=3,则
f(
2
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
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定义:已知两数a、b,按规则c=ab+a+b扩充得到一个数c便称c为“新数”,现有数1和4
①按上述规则操作三次后得到的最大新数c*=49; ②2008不是新数;
③c+1总能被2整除; ④c+1总能被10整除; ⑤499不可能是新数.
其中正确的说法是______.
题型:填空题
难度:一般
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f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)•f(b),且f(1)=2,则
f(2)
f(1)
+
f(4)
f(3)
+
f(6)
f(5)
+…+
f(2010)
f(2009)
=( )
A.1003
B.2010
C.2008
D.1004
题型:单选题
难度:一般
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已知f(x)定义域为R,满足:
①f(1)=1>f(-1);
②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(Ⅰ)求f(0),f(3)的值;
(Ⅱ)判断函数的奇偶性与周期性,并求f
2
(3x)+f
2
(3x-1)的值;
(Ⅲ)是否存在常数A,B,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.如果存在,求出常数A,B的值;如果不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
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